鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢?

　　例1 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张?

　　解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多。

　　(680-8×40)÷(8+4)=30(张)，这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。

　　因此8分邮票有40+30=70(张)。

　　答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。

　　也可以用任意假设一个数的办法。

　　解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分。以“分”作为计算单位，此时邮票总值是4×20+8×60=560。比680少，因此还要增加邮票。为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是：

　　(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张)。

　　因此4分有20+10=30(张)，8分有60+10=70(张)。

　　例2 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成?

　　解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份。用上一例题解一的方法，晴天有

　　(150-8×3)÷(10+8)= 7(天)。

　　雨天是7+3=10天，总共7+10=17(天)。

　　答：这项工程17天完成。

　　请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题。差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个。这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系。

　　总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢?

　　例3 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28。问鸡与兔各几只?

　　解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14(只)，鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍)，于是鸡的只数是兔的只数的2倍。

　　兔的只数是：(100+28÷2)÷(2+1)=38(只)。

　　鸡是：100-38=62(只)。

　　答：鸡62只，兔38只。

　　当然也可以去掉兔28÷4=7(只)。兔的只数是(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只)。

　　也可以用任意假设一个数的办法。

　　解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50(只)。此时脚数之差是：

　　4×50-2×50=100，

　　比28多了71、就说明假设的兔数多了(鸡数少了)。为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只(千万注意，不是2)。因此要减少的兔数是：

　　(100-28)÷(4+2)=12(只)。

　　兔只数是：

　　50-12=38(只)。

　　另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”。

　　例4 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首。

　　解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

　　13×5×4+20=280(字)。

　　每首字数相差：7×4-5×4=8(字)。

　　因此，七言绝句有：28÷(28-20)=35(首)。

　　五言绝句有：35+13=48(首)。

　　答：五言绝句48首，七言绝句35首。

　　解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首。字数分别是20×23=460(字)，28×10=280(字)，五言绝句的字数，反而多了：460-280=180(字)。与题目中“少20字”相差：180+20=200(字)。

　　说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8。因此五言绝句的首数要比假设增加

　　200÷8=25(首)。

　　五言绝句有

　　23+25=48(首)。

　　七言绝句有

　　10+25=35(首)。

　　在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例1、例3和例4三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事。

　　例1，假设都是8分邮票，4分邮票张数是(680-8×40)÷(8+4)=30(张)。

　　例3，假设都是兔，鸡的只数是(100×4-28)÷(4+2)=62(只)。

　　例4，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是(20×13+20)÷(28-20)=35(首)。

　　首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”。其奥妙何在呢?当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。

　　例5

　　有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元。结果得到运费379。6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只?

　　解：如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1+0。2=1、2(元)。因此破损只数是(400-379。6)÷(1+0。2)=17(只)。

　　答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。

　　请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗?

　　例6 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分?

　　解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120(分)。那么第二次只做对30-24=6(题)得分是：8×6-2×(15-6)=30(分)。 两次相差：120-30=90(分)。

　　比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少。第一次答对减少一题，少得5+1=6(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16(分)。(90-10)÷(6+10)=5(题)。

　　因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对：30-19=11(题)。

　　第一次得分：5×19-1×(24- 9)=90。

　　第二次得分：8×11-2×(15-11)=80。

　　答：第一次得90分，第二次得80分。

　　解二：答对30题，也就是两次共答错

　　24+15-30=9(题)。

　　第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10(分)。答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16(分)。

　　如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9。但两次满分都是120分。比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10。因此，第二次答错题数是：(6×9+10)÷(6+10)=4(题)·

　　第一次答错 9-4=5(题)。

　　第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分)。

　　第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分)。

 

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